Question

【題目】定義在區間[a，b]上的連續函數y=f(x)，如果，使得，則稱為區間[a,b]上的“中值點”．

下列函數：①；②；③；④中，在區間[0,1]上“中值點”多于一個的函數序號為_________．（寫出所有滿足條件的函數的序號）

Answer 1

【答案】①④

【解析】分析：由題意知“中值點”的意義是指在區間[0,1]上存在點，使得函數在該點處的切線的斜率等于區間[0,1]的兩個端點連線的斜率．分別畫出四個函數的圖象，由此定義對四個函數逐個判斷可得答案．

詳解：由題意得“中值點”的意義是在區間[0,1]上存在點，使得函數在該點的切線的斜率等于區間[0,1]的兩個端點連線的斜率．

在同一坐標系中畫出四個函數的圖象（如下圖）．

對于①，根據題意，在區間[0,1]上的任何一點都是“中值點”，故①正確；

對于②，區間[0,1]兩端點連線的斜率，即點（0,1）和（1,1）連線的斜率為0．又，由得，因此函數在區間[0,1]只存在一個“中值點”，故②不正確；

對于③，由題意得區間[0,1]兩端點連線的斜率為ln2，又，由于只有一個解，所以函數f(x)=ln(x+1)在區間[0,1]只存在一個“中值點”，故③不正確；

對于④，同理并結合對稱性，可得函數在區間[0,1]存在兩個“中值點”，故④正確．

綜上可得①④正確．