Question

在正方體ABCD-A′B′C′D′中，求證：
（1）平面ACC′A′⊥平面A′BD
（2）AC′⊥平面A′BD．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）充分利用正方體的性質，容易得到BD⊥平面ACC′A′，利用面面垂直的判定定理可知；
（2）由正方體的性質得到A′D⊥平面AD′C′，進一步由線面垂直的性質得到A′D⊥AC′，同理得到A′B⊥AC′，由線面垂直的判定可得．

解答： 證明：（1）∵幾何體是正方體的性質，
∴BD⊥AC，BD⊥AA′，
∴BD⊥平面ACC′A′，
∴平面ACC′A′⊥平面A′BD；
（2）連接 AD′，∵幾何體是正方體，
∴A′D⊥AD′且C′D′⊥平面ADD′A′∴C′D′⊥A′D 
∴A′D⊥平面AD′C′
∴A′D⊥AC′
同理  A′B⊥AC′
則AC′⊥平面A′BD．

點評：本題考查了正方體的性質以及正方體中面面垂直的判定和線面垂直的判定，關鍵是熟練有關的判定定理和性質定理．本題也可以借助于向量解答．