Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，點P在橢圓上，且PF₁⊥PF₂，|PF₁|•|PF₂|=2，當(dāng)a=2b時，求橢圓的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓定義得到|PF₁|-|PF₂|=2a，由直角三角形中的余弦定理結(jié)合隱含條件及a=2b求得a，b的值，則答案可求．

解答： 解：如圖，不妨設(shè)P在第一象限，

由橢圓定義得|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，
則(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2，
即4a²-2×2=4c²，a²-c²=1
又a=2b，a²=b²+c²，解得：a²=4，b²=1．
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了橢圓的定義，涉及由橢圓上的點與焦點連線構(gòu)成的三角形問題，常用橢圓定義及余弦定理結(jié)合解決，是中檔題．