Question

已知0＜a＜b，且a+b=1，下列不等式中，一定成立的是（　　）
①log₂a＞-1；②log₂a+log₂b＞-2；③log₂（b-a）＜0；④log₂（

b

a

+

a

b

）＞1．

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、①④

Answer 1

考點：對數的運算性質

專題：函數的性質及應用

分析：利用對數性質、均值定理、函數性質和特值法求解．

解答： 解：∵0＜a＜b，且a+b=1，
∴當a=

1

3

，b=

2

3

時，log₂a=log2

1

3

＜log2

1

2

=-1，故①錯誤；
∵0＜a＜b，且a+b=1，
∴1=a+b＞2

ab

，即ab＜

1

4

，
∴log₂a+log₂b＜log₂

1

4

=-2，故②錯誤；
∵0＜a＜b，且a+b=1，
∴0＜b-a＜1，
∴log₂（b-a）＜log₂1=0，故③正確；
∵0＜a＜b，且a+b=1，∴

b

a

+

a

b

＞2

b a • a b

=2，
∴log₂（

b

a

+

a

b

）＞log₂2=1，故④正確．
故選：C．

點評：本題考查命題真假的判斷，是基礎題，解題時要注意對數性質和運算法則的合理運用．