Question

在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，在四邊形ABFE中，AB∥EF，∠EAB=90°，AB=4，AD=AE=EF=2，平面ABFE⊥平面ABCD．
（1）求證：AF⊥平面BCF
（2）求二面角B-FC-D的大小
（3）求點D到平面BCF的距離．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定,點、線、面間的距離計算

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）首先利用平面ABFE與平面ABCD互相垂直，結合面面垂直的性質得到AF與CB垂直，然后利用余弦定理在△ABF中計算出BF的長，從而BF²+AF²=AB²，得出AF⊥FB，最后運用直線與平面垂直的判定定理，得到AF⊥平面BCF；
（2）分別以AD、AB、AE所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．則有D（2，0，0），C（2，4，0）E（0，0，2），B（0，4，0）．分別求出平面CDEF的法向量與平面BCF的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得．
（3）利用d=

| DC • AF |

| AF |

可求點D到平面BCF的距離．

解答： （1）證明：∵平面ABFE⊥平面ABCD，CB⊥AB，平面ABFE∩平面ABCD=AB，
∴CB⊥平面ABFE，
∵AF?平面ABFE，
∴CB⊥AF，
在直角梯形ABFE中，AB∥EF，∠EAB=90°，AE=EF=2
∴AF=2

2

∴∠FAB=45°
△ABF中，AB=4，根據余弦定理得：BF=2

2

，
∴BF²+AF²=AB²，
∴AF⊥FB．
∵CB∩FB=B，
∴AF⊥平面BCF；
（2）解：∵平面ABFE⊥平面ABCD，EA⊥AB，平面ABFE∩平面ABCD=AB，
∴EA⊥平面ABCD．
分別以AD、AB、AE所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．
則有D（2，0，0），C（2，4，0）E（0，0，2），B（0，4，0）．
∴

DC

=（0，4，0），

DE

=（-2，0，2）．
設

n

=（x，y，z）為平面CDEF的法向量，則

4y=0 -2x+2z=0

令x=1，則z=1，則

n

=（1，0，1）
由（1）知

AF

（0，2，2）=2（0，1，1）為平面BCF的法向量．
∴cos＜

n

，

AF

＞=

1

2

且B-FC-D為鈍角，
∴二面角B-FC-D的大小為120°；
（3）解：∵

AF

（0，2，2）=2（0，1，1）為平面BCF的法向量，

DC

=（0，4，0），
∴點D到平面BCF的距離d=

| DC • AF |

| AF |

=2

2

．

點評：本題是一道立體幾何的綜合題，著重考查了平面與平面垂直的性質及直線與平面垂直的判定，考查面面角，考查向量知識的運用，屬于中檔題．