Question

【題目】已知函數 （ ）
（1）若曲線 在點 處的切線經過點 ，求 的值；
（2）若 在 內存在極值，求 的取值范圍；
（3）當 時， 恒成立，求 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解： .

， .

因為 在 處的切線過 ，所以 .

（2）解： 在 內有解且 在 內有正有負.

令 .

由 ，得 在 內單調遞減，

所以 .

（3）解：因為 時 恒成立，所以 .

令 ，則 .

令 ，由 ，得 在 內單調遞減，又 ，

所以 時 ，即 ， 單調遞增， 時 ，

即 ， 單調遞減.所以 在 內單調遞增，

在 內單調遞減，所以 .所以 .

【解析】（1）考察了曲線切線的斜率與導數的關系
（2）考察了極值與導數的關系，以及函數零點的存在性定理；f ( x ) 在 ( 1 ， 2 ) 內存在極值，等價于 f ′ ( x ) = 0 在 ( 1 ， 2 ) 內有解且f ′ ( x )在 ( 1 ， 2 ) 內有正有負，及結合f ′ ( x )的導函數，判斷f ′ ( x )是單調減函數，因此運用函數零點存在性定理，只要g(1)>0 ，g(2)<0即可；
（3）考察函數含參恒成立問題的一般解法，分離參數法，進而利用函數單調性求最值。
注意第三問是證明恒成立問題，首先分離參數，可得a > ，構造函數 h ( x ) = ，只要a大于h(x)得最大值，再利用導數確定h(x)的單調性，注意一次求導不可得，再求一次，即可確定h(x)得單調性，即可
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解導數的幾何意義的相關知識，掌握通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．