Question

【題目】在四棱錐中，四邊形是邊長為2的菱形，為正三角形，與平面所成的角為，平面平面.

（1）求證：；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

(1)由題意過作，為垂足，連接，可得到平面，根據(jù)與平面所成的角為即，根據(jù)邊角關(guān)系可得到，從而有平面，再根據(jù)四邊形是邊長為2的菱形可得，所以有平面，即可證明；

(2) 以為原點(diǎn)，以，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向．建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，利用數(shù)量積求夾角即可.

證明，（1）過作，為垂足，連接．

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面．

所以平面,

所以為與平面所成的角，即．

因?yàn)?/span>．所以，

又，所以是的中點(diǎn)．

因?yàn)?/span>為正三角形．所以,

又，所以平面，

所以．

因?yàn)樗倪呅?/span>是邊長為2的菱形，所以．

又．所以平面．

所以.

解：（2）以為原點(diǎn)，以，，的方向

分別為軸，軸，軸的正方向．建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，，

所以，，．

設(shè)平面的法向量為，則，即

取，則，

根據(jù)（1），平面，平面的法向量為，則

．

故平面與平面所成銳二面角的余弦值為．