Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面，，，是中點，是中點，是線段上一動點.

（1）當為中點時，求證：平面平面；

（2）當平面時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由已知可得，當為中點時，結合，可證平面，進而證明結論；

（2）過點作的平行線，以為坐標原點建立空間直角坐標系，確定點坐標，以及平面和平面的法向量坐標，利用垂直平面的法向量，求出點坐標，再求出平面的法向量坐標，由空間向量面面角公式，即可求解.

（1）證明：，

為等腰直角三角形，當為中點時，.

平面平面.

且都在平面中，平面.

平面，平面平面.

（2）以點為坐標原點，所在的直線，

過點與平行的直線分別為軸建立空間直角坐標系，

，，，，

，.，在線段上，.

，，

，是平面的法向量，

當平面時，，，

即，為平面的法向量.

設為平面的法向量，

，，

，，

不妨設，則，.

.

二面角的余弦值為.