Question

【題目】已知函數.

（1）若，求的單調區間；

（2）若在上的最大值是，求的值；

（3）記，當時，若對任意式，總有成立，試求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）在上是增函數；在上是減函數（2）（3）的最大值為

【解析】

（1）求得的定義域和導函數，由此求得的單調區間.

（2）求得的導函數，對分成，，三種情況，結合在區間上的單調性和最大值，求得的值.

（3）首先求得的的表達式，利用的導函數判斷出當時，為減函數，由此將不等式轉化為，構造函數，在上為減函數，由的導函數分離常數，得到，結合基本不等式，求得的最大值.

（1）的定義域是，，

令，則（舍去），

當時，，故在上是增函數；

當時，，故在上是減函數.

（2）∵，則，

①當時，在上是增函數，

故在上的最大值為，顯然不合題意：

②若即時，，則在上是增函數，

故在上的最大值為，不合超意，舍去；

③若即時，則在上是增函數，在上是減函數，

故在在上的最大值為，解得，符合，

綜合①②③得.

（3），則，

當時，，故時，在上是減函數，

不妨設，則，

故等價于，

即，記，從而在上為減函數，

由，得，故恒成立，

∵，又在上單調遞減

∴，∴，∴.

故時，的最大值為.