Question

【題目】已知圓與y軸交于O，A兩點，圓C2過O，A兩點，且直線C2O與圓C1相切；

（1）求圓C2的方程；

（2）若圓C2上一動點M，直線MO與圓C1的另一交點為N，在平面內是否存在定點P使得PM=PN始終成立，若存在求出定點坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且為．

【解析】試題分析：（1）由（x﹣4）2+（y﹣2）2=20，令x=0，解得y=0或4．圓C2過0，A兩點，可設圓C2的圓心C1（a，2）．直線C2O的方程為：y=x，即x﹣2y=0．利用直線C20與圓C1相切的性質即可得出；（2）存在，且為P（3，4）．設直線OM的方程為：y=kx．代入圓C2的方程可得：（1+k2）x2+（2﹣4k）x=0．可得M的坐標．同理可得N的坐標．設P（x，y），線段MN的中點E，利用kPEk=﹣1即可得出．

詳解：

（1）由（x﹣4）2+（y﹣2）2=20，令x=0，解得y=0或4．

∵圓C2過O，A兩點，∴可設圓C2的圓心C1（a，2）．

直線C2O的方程為：y=x，即x﹣2y=0．

∵直線C2O與圓C1相切，∴=，解得a=﹣1，

∴圓C2的方程為：（x+1）2+（y﹣2）2=，化為：x2+y2+2x﹣4y=0．

（2）存在，且為P（3，4）．

設直線OM的方程為：y=kx．

代入圓C2的方程可得：（1+k2）x2+（2﹣4k）x=0．

xM=，yM=．

代入圓C1的方程可得：（1+k2）x2﹣（8+4k）x=0．

xN=，yN=．

設P（x，y），線段MN的中點E．

則×k=﹣1，

化為：k（4﹣y）+（3﹣x）=0，

令4﹣y=3﹣x=0，解得x=3，y=4．

∴P（3，4）與k無關系．

∴在平面內是存在定點P（3，4）使得PM=PN始終成立．