Question

【題目】如圖，在三棱錐A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，∠CBD=60°，BD=2BC=4，點E在CD上，DE=2EC．
（Ⅰ）求證：AC⊥BE；
（Ⅱ）若二面角E﹣BA﹣D的余弦值為 ，求三棱錐A﹣BCD的體積．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取BD的中點O，連結AO，CO，EO． 因為AB=AD，BO=OD，所以AO⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO平面ABD，
所以AO⊥平面BCD，
又BE平面BCD，所以AO⊥BE．
在△BCD中，BD=2BC，DE=2EC，所以 ，
由角平分線定理，得∠CBE=∠DBE，
又BC=BO=2，所以BE⊥CO，
又因為AO∩CO=O，AO平面ACO，CO平面ACO，
所以BE⊥平面ACO，
又AC平面ACO，所以AC⊥BE．

（Ⅱ）解：法一：在△BCD中，BD=2BC=4，∠CBD=60°，
由余弦定理得 ，所以BC2+CD2=BD2 ， 即∠BCD=90°，
所以∠EBD=∠EDB=30°，BE=DE，所以EO⊥BD，
結合（Ⅰ）知，OE，OD，OA兩兩垂直．以O為原點，
分別以向量 的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系O﹣xyz（如圖），
設AO=t（t＞0），
則A（0，0，t），B（0，﹣2，0）， ，
所以 ， ，
設n=（x，y，z）是平面ABE的一個法向量，
則 即 ，整理，得
令y=﹣1，得 ．
因為OE⊥平面ACD，所以m=（1，0，0）是平面ABD的一個法向量．
又因為二面角E﹣BA﹣D的余弦值為 ，
所以 ，解得t=2或t=﹣2（舍去），
又AO⊥平面BCD，所以AO是三棱錐A﹣BCD的高，
故三棱錐A﹣BCD的體積 ．
（Ⅱ）法二：過點O作OF⊥AB于點F，連結EF．
在△BCD中，BD=2BC=4，∠CBD=60°，由余弦定理可得 ．
因為BC2+CD2=BD2 ， 所以∠BCD=90°，
故∠EBD=∠EDB=30°，BE=DE，所以EO⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，EO平面BCD，
所以EO⊥平面ABD，又AB平面ABD，所以EO⊥AB，
又因為EO∩OF=O，所以AB⊥平面EOF，又EF平面EOF，
所以AB⊥EF，所以∠EFO為二面角E﹣BA﹣D的平面角，
所以 ，所以 ，解得 ，
設AO=t（t＞0），則 ，解得t=2或﹣2（不合，舍去），
又AO⊥平面BCD，所以AO是三棱錐A﹣BCD的高，
所以三棱錐A﹣BCD的體積 ．

【解析】（本小題滿分12分）
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能正確解答此題．