Question

【題目】已知橢圓 的右焦點為F（1，0），且點 在橢圓C上，O為坐標原點． （Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設過定點T（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，得c=1，

所以a2=b2+1．

因為點 在橢圓C上，

所以 ，可解得a2=4，b2=3．

則橢圓C的標準方程為 ．

（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+2，點A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，得（4k2+3）x2+16kx+4=0．

因為△=48（4k2﹣1）＞0，所以 ，

由根與系數的關系，得 ．

因為∠AOB為銳角，所以 ，即x1x2+y1y2＞0．

所以x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，

即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，

所以 ．

綜上 ，

解得 或 ．

所以，所求直線的斜率的取值范圍為 或

【解析】（Ⅰ）利用已知條件求出c=1，得到a2=b2+1．通過點 在橢圓C上，得到 ，可解橢圓C的標準方程．（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+2，點A（x1，y1），B（x2，y2），通過聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理以及x1x2+y1y2＞0．判別式的符號，求解k的范圍即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)．