Question

已知函數f_n（x）=axⁿ+bx+c（a，b，c∈R），
（Ⅰ）若f₁（x）=3x+1，f₂（x）為偶函數，求a，b，c的值；
（Ⅱ）若對任意實數x，不等式2x≤f₂（x）≤

1

2

(x+1)2恒成立，求f₂（-1）的取值范圍；
（Ⅲ）當a=1時，對任意x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求實數b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數的最值及其幾何意義

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）運用偶函數的定義和一次函數的解析式，即可得到a，b，c；
（Ⅱ）令x=1，則a+b+c=2，再由二次不等式恒成立，結合拋物線開口向上，且判別式不大于0，即可得到a的范圍，進而得到所求范圍；
（Ⅲ）對任意x₁，x₂∈[-1，1]都有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4等價于在[-1，1]上的最大值與最小值之差M≤4，對b討論，分b＞2時，0＜b≤2時，-2≤b≤0時，分別求出最大值和最小值，計算即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）由 f₁（x）=3x+1，f₂（x）為偶函數得

a+b=3 c=1 b=0

∴a=3，b=0，c=1；
（Ⅱ）由題意可知f₂（1）≥2，f₂（1）≤2，
∴f₂（1）=2，∴a+b+c=2，
∵對任意實數x都有f₂（x）≥2x，即ax²+（b-2）x+c≥0恒成立，
∴

a＞0 (b-2)2-4ac≤0

，由a+b+c=2，∴（a+c）²-4ac≤0，
可得a=c，b=2-2a，
此時f2(x)-

1

2

(x+1)2=(a-

1

2

)(x-1)2，
∵對任意實數x都有f2(x)≤

1

2

(x+1)2成立，∴0＜a≤

1

2

，
∴f₂（-1）=a-b+c=4a-2的取值范圍是（-2，0]；
（Ⅲ）對任意x₁，x₂∈[-1，1]都有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4等價于
在[-1，1]上的最大值與最小值之差M≤4，據此分類討論如下：
（ⅰ）當|

b

2

|＞1，即b＞2時，M=|f₂（1）-f₂（-1）|=2|b|＞4，與題設矛盾．
（ⅱ） 當-1≤-

b

2

＜0，即0＜b≤2時，M=f2(1)-f2(-

b

2

)=(

b

2

+1)2≤4恒成立．
（ⅲ）當0≤-

b

2

＜1，即-2≤b≤0時，M=f2(-1)-f2(-

b

2

)=(

b

2

-1)2≤4恒成立．
綜上可知，-2≤b≤2．

點評：本題考查函數的奇偶性和單調性的運用，考查二次不等式的恒成立問題，注意運用圖象和判別式的符號，考查函數的最值，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題和易錯題．