Question

已知函數f（x）=|x-a|，g（x）=2x²+3ax+1，其中a＞0．
（1）若f（x）在x≥1上是單調函數，求a的取值范圍；
（2）若f（0）=g（0），求函數h（x）=f（x）+g（x），x≥1的值域．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數的值域

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由絕對值函數的對稱軸，可得f（x）在x≥a上遞增，即可判斷f（x）在x≥1上為增函數，即可得到a的范圍；
（2）由f（0）=g（0）可得a=1，進而得到函數h（x）的解析式，運用二次函數的值域，即可得到所求值域．

解答： 解：（1）函數f（x）=|x-a|的對稱軸為x=a，
f（x）在x≥a上遞增，
則由題意可得，f（x）在x≥1上是單調函數，且為增函數，
則有a≤1，
即a的取值范圍為（-∞，1]；
（2）f（0）=g（0），即為|a|=1，解得a=1（-1舍去），
函數h（x）=f（x）+g（x）=|x-1|+2x²+3x+1，
由于x≥1，則h（x）=x-1+2x²+3x+1=2x²+4x
=2（x+1）²-2，
則在x≥1上遞增，則h（x）≥6，
即有函數的值域為[6，+∞）．

點評：本題考查函數的單調性的運用，考查二次函數的值域，考查絕對值函數的單調性的運用，考查運算能力，屬于基礎題．