Question

【題目】如圖，在多面體EF﹣ABCD中，ABCD，ABEF均為直角梯形， ，DCEF為平行四邊形，平面DCEF⊥平面ABCD．

（1）求證：DF⊥平面ABCD；
（2）若△ABD是等邊三角形，且BF與平面DCEF所成角的正切值為 ，求二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為 ，所以AB⊥平面BCE，

又EF∥CD，所以EF∥平面ABCD，從而有AB∥CD∥EF，

所以CD⊥平面BCE，從而CD⊥CE，

又CE∥DF，所以CD⊥DF，

又平面DCEF⊥平面ABCD，所以DF⊥平面ABCD．

（2）解法1：過C作CH⊥BE交BE于H，HK⊥BF交BF于K，

因為AB⊥平面BCE，所以CH⊥AB，從而CH⊥平面ABEF，

所以CH⊥BF，從而BF⊥平面CHK，所以BF⊥KH

即∠HKC為C﹣BF﹣E的平面角，與 A﹣BF﹣C的平面角互補．

因為BC⊥DCEF，所以BF與平面DCEF所成角為∠BFC．

由 ，所以2CB2=CD2+CE2，

由△ABD是等邊三角形，知∠CBD=30°，所以

令CD=a，所以 ， ．

所以 ， ．

所以二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值為 ．

解法2：因為CB，CD，CE兩兩垂直，

以C為原點，CD，CB，CE所在直線為x，y，z軸，如圖建立空間直角坐標系．

不妨設CD=1．

因為BC⊥DCEF，所以BF與平面DCEF所成角為∠BFC．

由 ，所以2CB2=CD2+CE2，

由△ABD是等邊三角形，知∠CBD=30°，

所以 ，

，

平面ABF的一個法向量 ，平面CBF的一個法向量

則 ，且

取

則 ．

二面角A﹣BF﹣C的平面角與 的夾角互補．

所以二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值為 ．

【解析】（1）推導出AB⊥平面BCE，AB∥CD∥EF，從而CD⊥平面BCE，進而CD⊥CE，由CE∥DF，得CD⊥DF，由此能證明DF⊥平面ABCD．（2）法1：過C作CH⊥BE交BE于H，HK⊥BF交BF于K，推導出∠HKC為C﹣BF﹣E的平面角，由此能求出二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值．法2：以C為原點，CD，CB，CE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．不妨設CD=1，利用向量法能求出二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．