Question

已知函數，
（1）求函數的單調區間；
（2）若方程有且只有一個解，求實數m的取值范圍；
（3）當且，時，若有，求證：.

Answer 1

（1）的遞增區間為，遞減區間為和；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）對求導可得，令，或，由導數與單調性的關系可知，所以遞增區間為，遞減區間為；
（2）若方程有解有解，則原問題轉化為求f（x）的值域，而m只要在f（x）的值域內即可，由（1）知，， 方程有且只有一個根，又的值域為，;
（3）由（1）和（2）及當，時，有，不妨設，
則有，，又，
即，同理，又，，且在上單調遞減，
，即.
試題解析：（1），令，即，解得，
令，即，解得，或，
的遞增區間為，遞減區間為和.        4分
（2）由（1）知，，    6分
方程有且只有一個根，又的值域為，由圖象知
                        8分
（3）由（1）和（2）及當，時，有，不妨設，
則有，，又，
即，                         11分
，又，，且在上單調遞減，
，即.                      13分