Question

（2013•大興區一模）已知數列{a_n}的各項均為正整數，且a₁＜a₂＜…＜a_n，設集合A_k={x|x=

n

i=1

 λ_ia_i，λ_i=-1或λ_i=0，或λ_i=1}（1≤k≤n）．
性質1：若對于?x∈A_k，存在唯一一組λ_i，（i=1，2，…，k）使x=

n

i=1

 λ_ia_i成立，則稱數列{a_n}為完備數列，當k取最大值時稱數列{a_n}為k階完備數列．
性質2：若記m_k=

n

i=1

 a_i（1≤k≤n），且對于任意|x|≤m_k，k∈Z，都有x∈A_K成立，則稱數列P{a_n}為完整數列，當k取最大值時稱數列{a_n}為k階完整數列．
性質3：若數列{a_n}同時具有性質1及性質2，則稱此數列{a_n}為完美數列，當K取最大值時{a_n}稱為K階完美數列；
（Ⅰ）若數列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1，求集合A₂，并指出{a_n}分別為幾階完備數列，幾階完整數列，幾階完美數列；
（Ⅱ）若數列{a_n}的通項公式為a_n=10^n-1，求證：數列{a_n}為n階完備數列，并求出集合A_n中所有元素的和S_n．
（Ⅲ）若數列{a_n}為n階完美數列，試寫出集合A_n，并求數列{a_n}通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據題中的新定義定出集合A₂={-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}，再根據幾階完備數列，幾階完整數列，幾階完美數列的定義得出結論；
（Ⅱ）對于?x∈A_n，先假設存在2組λ_i及μ_i（i=1，2…，n）使x=

n

i=1

λiai成立，則有(λ1-μ1)100+(λ2-μ2)101+…+(λn-μn)10n-1=0，從而必有λ₁=μ₁，λ₂=μ₂…λ_n=μ_n，從而得出數列{a_n}為n階完備數列；再利用對?x∈A_n，x=

n

i=1

λiai，則-x=-

n

i=1

λiai=

n

i=1

(-λi)ai，得到-x∈A_n，從而求出S_n的值；
（Ⅲ）若存在n階完美數列，則由性質1易知A_n中必有3ⁿ個元素，由（Ⅱ）知A_n中元素成對出現（互為相反數），且0∈A_n，又{a_n}具有性質2，從而得出數列{a_n}通項公式．

解答：解：（Ⅰ）A₂={-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}；
∴{a_n}為2階完備數列，2階完整數列，2階完美數列；
（Ⅱ）若對于?x∈A_n，假設存在2組λ_i及μ_i（i=1，2…，n）使x=

n

i=1

λiai成立，則有λ1100+λ2102+…+λn10n-1=μ1100+μ2102+…+μn10n-1，即(λ1-μ1)100+(λ2-μ2)101+…+(λn-μn)10n-1=0，
其中λ_i，μ_i∈{-1，0，1}，必有λ₁=μ₁，λ₂=μ₂…λ_n=μ_n，
所以僅存在唯一一組λ_i（i=1，2…，n）使x=

n

i=1

λiai成立，
即數列{a_n}為n階完備數列；S_n=0，對?x∈A_n，x=

n

i=1

λiai，則-x=-

n

i=1

λiai=

n

i=1

(-λi)ai，因為λ_i∈{-1，0，1}，則-λ_i∈{-1，0，1}，所以-x∈A_n，即S_n=0
（Ⅲ）若存在n階完美數列，則由性質1易知A_n中必有3ⁿ個元素，
由（Ⅱ）知A_n中元素成對出現（互為相反數），且0∈A_n，又{a_n}具有性質2，
則A_n中3ⁿ個元素必為An={-

3n-1

2

，-

3n-3

2

，…-1，0，1，…

3n-3

2

，

3n-1

2

}．
∴an=3n-1．

點評：本小題主要考查一階、二階線性常系數遞歸數列的通項公式，考查分析問題、解決問題的能力．屬于難題．