Question

已知函數(shù)f（x）=

1

m

-

1

x

（x∈（0，+∞））．
（1）求證：函數(shù)f（x）是增函數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]（0＜a＜b），求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若存在x∈（1，+∞），使不等式f（x-1）＞4x成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)x₁、x₂是區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，用單調(diào)性的定義證明；
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，則得

1 m - 1 a =2a 1 m - 1 b =2b

，即

2a2- 1 m •a+1=0 2b2- 1 m •b+1=0

．由此式a、b可視為方程 2x2-

1

m

•x+1=0的兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，用韋達(dá)定理限制即可；
（3）不等式f（x-1）＞4x，即為

1

m

-

1

x-1

＞4x．因?yàn)?nbsp;x∈（1，+∞），上述不等式即為 4x2-(4+

1

m

)x+1+

1

m

＜0．
令 g(x)=4x2-(4+

1

m

)x+1+

1

m

，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解決．

解答： （1）證明：設(shè)x₁、x₂是區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
則 f（x₁）-f（x₂）=（

1

m

-

1

x1

）-（

1

m

-

1

x2

）=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

因?yàn)閤₁、x₂是∈（0，+∞）），即 x₁x₂＞0，
又x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0．
于是  f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
因此，函數(shù)f（x）是增函數(shù)．
（2）解：由（1）知，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
則得

1 m - 1 a =2a 1 m - 1 b =2b

，
即

2a2- 1 m •a+1=0 2b2- 1 m •b+1=0

．
所以a、b可視為方程 2x2-

1

m

•x+1=0的兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，
于是 

△=(- 1 m )2-8＞0 a+b= 1 2m ＞0 ab= 1 2 ＞0

，解得 0＜m＜

2

4

．
（3）不等式f（x-1）＞4x，即為

1

m

-

1

x-1

＞4x．
因?yàn)?nbsp;x∈（1，+∞），上述不等式即為 4x2-(4+

1

m

)x+1+

1

m

＜0．
令 g(x)=4x2-(4+

1

m

)x+1+

1

m

，則其圖象對(duì)稱軸是直線x=

4+ 1 m

8

．
①

4+ 1 m 8 ≤1 g(1)＜0

，解得 m∈∅；
②

4+ 1 m 8 ＞1 △=[-(4+ 1 m )]2-16(1+ 1 m )＞0

，即 

0＜m＜4 m≠0 m＜ 1 8

，解得 0＜m＜

1

8

．
綜上，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (0，

1

8

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是抓住條件，方程與函數(shù)相互轉(zhuǎn)化，同時(shí)考查二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，是一道綜合題．