Question

在△ABC中，角A、B、C分別對應邊a，b，c，B（-1，0），C（1，0），求滿足sinC-sinB=

1

2

sinA，頂點A的軌跡．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由已知得A點的軌跡為以BC焦點的雙曲線的一支且除去頂點，由此能求出A的軌跡方程．

解答： 解：∵△ABC中，

AB

sinC

=

BC

sinA

=

AC

sinB

，
∵sinC-sinB=

1

2

sinA，
∴|AB|-|AC|=

1

2

|BC|=1＜|BC|=2，
∴頂點A點的軌跡為以BC焦點的雙曲線的一支且除去頂點，
∴設其方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
由已知得2a=1，c=1，解得a=

1

2

，b²=

3

4

，
∴頂點A的軌跡方程為：

x2

1 4

-

y2

3 4

=1（x＞

1

2

）．
是以BC焦點的雙曲線的右一支且除去頂點．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，解題時要認真審題，注意橢圓性質的合理運用，屬于中檔題．