Question

已知橢圓C₁：的離心率為，直線l：y=x+2與以原點為圓心、以橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切，
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁，且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直l₁于點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（3）若AC、BD為橢圓C₁的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點F₂，求四邊形ABCD的面積的最小值．

Answer 1

解：（1），∴，∴，
∵直線l：x-y+2=0與圓相切，
∴，∴，∴，
∴橢圓C₁的方程是；
（2）∵MP=MF₂，∴動點M到定直線l₂：x=-1的距離等于它到定點F₂（1，0）的距離，
∴動點M的軌跡C是以l₁為準線，F₂為焦點的拋物線，
∴點M的軌跡C₃的方程為；
（3）當直線AC的斜率存在且不為零時，設直線AC的斜率為k，，
則直線AC的方程為y=k（x-1），
聯立及y=k（x-1）得，
所以，
，
由于直線BD的斜率為，用代換上式中的k可得，
因為AC⊥BD，所以四邊形ABCD的面積為，
由，所以，
當時，k=±1時取等號；
易知，當直線AC的斜率不存在或斜率為零時，四邊形ABCD的面積S=4；
綜上可得，四邊形ABCD面積的最小值為。