Question

已知橢圓C₁：的離心率為，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心、橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓O相切。    
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；  
（Ⅱ）設(shè)橢圓C₁的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，直線l₁過點(diǎn)F₁，且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直于l₁，垂足為點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；   
 （Ⅲ）過橢圓C₁的左頂點(diǎn)A做直線m，與圓O相交于兩點(diǎn)R、S，若△ORS是鈍角三角形，求直線m的斜率k的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）由，得，  
由直線l：x-y+2=0與圓相切得，
所以，
所以橢圓的方程是。   
（Ⅱ）由條件，知|MF₂|=|MP|，
即動點(diǎn)M到定點(diǎn)F₂的距離等于它到直線l₁：x=-1的距離，
由拋物線的定義得點(diǎn)M的軌跡C₂的方程是。   
（Ⅲ）由（Ⅰ），得圓O的方程是，
直線m的方程是，
設(shè)，
由得，    
則，  
由得，     ①
因?yàn)椤鱋RS是鈍角三角形，
所以，
即
，
所以，                 ②
由A、R、S三點(diǎn)不共線，知k≠0，                 ③
由①、②、③，得直線m的斜率k的取值范圍是。