Question

已知橢圓C₁：的離心率為，橢圓上一點到一個焦點的最大值為3，圓，點A是橢圓上的頂點，點P是橢圓C₁上不與橢圓頂點重合的任意一點．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）若直線AP與圓C₂相切，求點P的坐標；
（3）若點M是橢圓C₁上不與橢圓頂點重合且異于點P的任意一點，點M關于x軸的對稱點是點N，直線MP，NP分別交x軸于點E（x₁，0），點F（x₂，0），探究x₁•x₂是否為定值．若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據的離心率為，橢圓上一點到一個焦點的最大值為3，建立方程組，即可求得橢圓C₁的方程；
（2）設直線AP的方程為kx-y+=0，利用直線AP與圓C₂相切，求得直線的斜率，從而可得點P的坐標；
（3）設M、P、N的坐標，利用M，P，E三點共線，N，P，F三點共線，結合M，P在橢圓上，即可求得x₁•x₂是定值．
解答：解：（1）由題意，，∴a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3，∴橢圓C₁的方程為；
（2）由（1）知A（0，），且直線AP的斜率存在，設其斜率為k，則直線AP的方程為kx-y+=0
圓C₂的圓心坐標為（-4，），半徑為2
∵直線AP與圓C₂相切，
∴=2
∴
k=時，直線方程代入橢圓方程可得5x²+8x=0，∴x=0或x=-，∴點P的坐標為（-，-）
同理可得k=-時，點P的坐標為（，-）；
（3）設M（x₃，y₃），P（x₄，y₄），則N（x₃，-y₃），
由M，P，E三點共線，可得=，∴
同理由N，P，F三點共線，可得
∵M，P在橢圓上，∴，
∴x₁•x₂=×=4
∴x₁•x₂是定值，定值為4．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓相切，考查三點共線，正確確定橢圓方程是關鍵．