Question

已知數列{a_n}是公差為2的等差數列，數列{b_n}是首項為10的等比數列，記復數z_n=a_n+b_ni，且z₁-2z₂=-5．
（1）求數列{z_n}的前項和S_n
（2）求|z_n|的最小值．

Answer 1

考點：數列的求和,復數代數形式的混合運算

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得a_n=a₁+2（n-1），bn=10qn-1，從而得到a₁+10i-2[（a₁+2）+10qi]=-5，由此能求出z_n=（2n-1）+5×(

1

2

)ni，利用分組求和法能求出數列{z_n}的前n項和S_n．
（2）|z_n|=

(2n-1)2+[5×( 1 2 )n]2

=

(2n-1)2+25×( 1 4 )n

，設h（n）=(2n-1)2+25×(

1

4

)n，則h′（n）=8n-4-50ln2×（

1

4

）ⁿ，由此利用導數性質能求出|z_n|的最小值．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}是公差為2的等差數列，數列{b_n}是首項為10的等比數列，
∴a_n=a₁+2（n-1），bn=10qn-1，
∵復數z_n=a_n+b_ni，z₁-2z₂=-5，
∴a₁+10i-2[（a₁+2）+10qi]=-5，
∴

a1-2(a1+2)=-5 10i-20qi=0

，
解得a₁=1，q=

1

2

，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
bn=10×(

1

2

)n-1=5×(

1

2

)n，
∴z_n=（2n-1）+5×(

1

2

)ni，
S_n=[1+3+5+…+（2n-1）]+[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n]×5i
=

n

2

(1+2n-1)+

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

×5i
=n²+5[1-（

1

2

）ⁿ]i．
（2）|z_n|=

(2n-1)2+[5×( 1 2 )n]2

=

(2n-1)2+25×( 1 4 )n

，
設h（n）=(2n-1)2+25×(

1

4

)n，
則h′（n）=8n-4-50ln2×（

1

4

）ⁿ，
∵h′（1）0，
|z₁|=

(2-1)2+25× 1 4

=

29

2

，
|z₂|=

(4-1)2+25× 1 16

=

13

4

，
∴|z_n|的最小值為

29

2

．

點評：本題考查數列的前n項和的求法，考查|z_n|的最小值的中法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分組求和法和復數性質的合理運用．