Question

【題目】已知數列的前項和為，且滿足:

(1)證明：是等比數列，并求數列的通項公式.

(2)設，若數列是等差數列，求實數的值；

(3)在(2)的條件下，設 記數列的前項和為，若對任意的存在實數,使得,求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（1） 證明過程見解析 （2） （3）

【解析】

（1）由，再得出，兩式作差，得出，，再分奇數項，偶數項分別求通項公式即可得解；

（2）由等差數列的等差中項可得恒成立，可得，解得;

（3）由已知有，由裂項求和法求數列前項和得，由分離變量最值法可得，運算即可得解.

解：（1）因為，①

所以，②

②-①得：，

由易得，即，

即，，

即數列的奇數項是以為首項，4為公比的等比數列，偶數項是以為首項，4為公比的等比數列，

當為奇數時，，

當為偶數時，，

綜上可得，

又，

故是等比數列，且數列的通項公式.

(2)因為，

所以，

因為數列是等差數列，

所以恒成立，

即有恒成立，

即，

解得;

(3)因為=，

即，

又對任意的存在實數,使得,

即對任意的 恒成立，

又當時，取最小值3，時，，

即,

故實數的最大值為.