【題目】如圖，在棱長為2的正方體
中，M是線段AB上的動點．
證明：
平面
；
若點M是AB中點，求二面角
的余弦值；
判斷點M到平面的距離是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析；（2）
；（3）點
到平面
的距離為定值
.
【解析】
（1）利用正方體的性質得
，由線面平行的判定定理證明即可.（2）建立空間直角坐標系
求出平面
和平面
的法向量
，利用向量的夾角公式求出二面角的余弦值，即可得解.（3）由（1）得點到平面的距離等于
上任意一點到平面的距離，結合（2）和點到面的距離公式得點到平面的距離即可.
（1）證明：因為在正方體
中，，
平面，
平面，
平面
（2）
在正方體中，
，
，
兩兩互相垂直，則建立空間直角坐標系
如圖所示，則
，
，
，
，所以
，
，
，
，設向量
，
分別為平面和平面的法向量，由
取
，則
，
，
.
同理
取
，則
，
，
.
，
又二面角
的平面角為銳角，
二面角的余弦值為
（3）由（1）知
平面
.點到平面的距離等于上任意一點到平面的距離，取點為
，結和（2）和點到平面的距離
.點到平面的距離定值為
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【題目】已知橢圓
的離心率
，左、右焦點分別為
，點
，點
在線段
的中垂線上．
（1）求橢圓
的方程；
（2）設直線
與橢圓
交于
兩點，直線
與
的傾斜角分別為
，且
，求證：直線
過定點，并求該定點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2017年“十一”期間，高速公路車輛較多．某調查公司在一服務區從七座以下小型汽車中按進服務區的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，將他們在某段高速公路的車速（
）分成六段： 
， 
， 
， 
， 
， 
，后得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）求這40輛小型車輛車速的眾數和中位數的估計值；
（2）若從車速在
的車輛中任抽取2輛，求車速在的車輛恰有一輛的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，一輛汽車從A市出發沿海岸一條筆直公路以
的速度向東勻速行駛，汽車開動時，在A市南偏東方向距A市500km且與海岸距離為300km的海上B處有一艘快艇與汽車同時出發，要把一份文件交給這輛汽車的司機．
（1）快艇至少以多大的速度行駛才能把文件送到司機手中？
（2）求快艇以最小速度行駛時的行駛方向與
所成角的大小．
（3）若快艇每小時最快行駛
，快艇應如何行駛才能盡快把文件交到司機手中？最快需多長時間？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別是
萬元，它們與投入資金
萬元的關系分別為
，
，（其中
都為常數），函數對應的曲線
、
如圖所示．
（1）求函數
與
的解析式；
（2）若該商場一共投資4萬元經銷甲、乙兩種商品，求該商場所獲利潤的最大值．
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