Question

【題目】設數列的各項都是正數，若對于任意的正整數，存在，使得、、成等比數列，則稱函數為“型”數列.

（1）若是“型”數列，且，，求的值；

（2）若是“型”數列，且，，求的前項和；

（3）若既是“型”數列，又是“型”數列，求證：數列是等比數列.

Answer 1

【答案】(1)2；(2) (3)見證明

【解析】

（1）根據已知是“型”數列，即成等比數列，那么可知是等比數列，由條件可直接求出，進而得的值；（2）當n為奇數時，當n為偶數時，根據已知可計算出，由此得到；（3）先寫出時的“型”數列和“型”數列，公比分別為和，再寫出和時的“型”數列，公比分別為和，根據數列中的公共項可得公比之間的關系，再由時的3個“型”數列的通項公式，可推得是等比數列。

解：（1）由是“”數列，所以成等比，所以成等比數列，且公比，

則

（2）由是“”數列，所以成等比，所以當為奇數時：；

由是“”數列，所以成等比，所以當為偶數時：；

（3）由是“”數列，所以成等比，

設其公比為，又是“”數列，則成等比數列，設其公比為，同理，設的公比為，的公比為（。

那么，所以。

當時，，

，

。

綜上得：，，所以是等比數列