Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分別為AC，AD的中點，連接BM，MN，BN．

（1）求證：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：在△CAD中，∵M、N分別是AC、CD的中點，

∴MN∥AD，MN= AD，

在RT△ABC中，∵M是AC中點，

∴BM= AC，

∵AC=AD，

∴MN=BM．

（2）

解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=30°，

由（1）可知，BM= AC=AM=MC，

∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，

∵MN∥AD，

∴∠NMC=∠DAC=30°，

∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，

∴BN2=BM2+MN2，

由（1）可知MN=BM= AC=1，

∴BN=

【解析】（1）根據三角形中位線定理得MN= AD，根據直角三角形斜邊中線定理得BM= AC，由此即可證明．（2）首先證明∠BMN=90°，根據BN2=BM2+MN2即可解決問題．
【考點精析】利用直角三角形斜邊上的中線和勾股定理的概念對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．