Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，，，，點在線段上.

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）若是中點，證明平面；

（Ⅲ）當時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：以 為原點建立空間直角坐標系 ，（Ⅰ）分別求出向量的坐標根據可得結果；（Ⅱ）求出平面 的法向量，利用向量法能證明 平面 ；（Ⅲ）求出平面 的法向量和平面 的法向量，利用空間向量法夾角余弦公式能求出二面角 的余弦值.

試題解析：（Ⅰ）證明：如圖，以為原點建立空間直角坐標系.則，，，，.

，，

，所以.

（Ⅱ）解法一：

設平面的法向量，

由，

且，

令得，

所以，

又平面，所以平面；

解法二：證明：連接，交于，.

因為直三棱柱，是中點，

所以側面為矩形，為的中位線.

所以，

因為平面，平面，

所以平面.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

設，

因為點在線段上，且，即.

所以，，.

所以，.

平面的法向量為.

設平面的法向量為，

由，，得，

所以，，.

設二面角的大小為，

所以.

所以二面角的余弦值為.