Question

【題目】已知函數f（x）=x3+（1﹣a）x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（1）若函數f（x）的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為﹣3，求a，b的值；
（2）若曲線y=f（x）存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=x3+（1﹣a）x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R），得

f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）．

由題意得 ，

解得：b=0，a=﹣3或1

（2）解：∵曲線y=f（x）存在兩條垂直于y軸的切線，

∴關于x的方程f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）=0有兩個不相等的實數根，

∴△=4（1﹣a）2+12a（a+2）＞0，即4a2+4a+1＞0，

∴a≠﹣ ．

∴a的取值范圍是（﹣∞，﹣ ）∪（﹣ ，+∞）

【解析】求出原函數的導函數．（1）由函數f（x）的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為﹣3得到方程組 ，解方程組求得a，b的值；（2）把曲線
y=f（x）存在兩條垂直于y軸的切線轉化為函數f（x）有兩個極值點，進一步轉化為關于x的方程f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）=0有兩個不相等的實數根，然后尤其判別式大于0求得a的范圍．