Question

【題目】已知函數的最大值為， 的圖象關于軸對稱．

(Ⅰ)求實數的值；

(Ⅱ)設，是否存在區間，使得函數在區間上的值域為？若存在，求實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) , ;(2) 不存在區間使得函數在區間上的值域是.

【解析】試題分析：(Ⅰ) 由題意得，可得在上單調遞增，在上單調遞減，可得的最大值為，可得。由的圖象關于軸對稱，可得。 (Ⅱ)由題知，則，從而可得在上遞增。假設存在區間，使得函數在上的值域是，則，將問題轉化為關于的方程在區間上是否存在兩個不相等實根的問題，即在區間上是否存在兩個不相等實根，令， ，可得在區間上單調遞增，不存在兩個不等實根。

試題解析：

(Ⅰ) 由題意得，

令，得，

當時， ， 單調遞增；

當時， ， 單調遞減，

∴當有極大值，也是最大值，且為，

∴，

解得．

又的圖象關于軸對稱．

∴函數為偶函數，

∴，

∴．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ，

則，

∴，

令，

則，

∴， 在上遞增．

假設存在區間，使得函數在上的值域是，

則，

問題轉化為關于的方程在區間上是否存在兩個不相等實根，

即方程在區間上是否存在兩個不相等實根，

令， ，

則,

設,

則， ，

故在上遞增，

故，

所以，

故在區間上單調遞增，

故方程在區間上不存在兩個不相等實根，

綜上，不存在區間使得函數在區間上的值域是．