Question

【題目】某花卉企業引進了數百種不同品種的康乃馨，通過試驗田培育，得到了這些康乃馨種子在當地環境下的發芽率，并按發芽率分為組：、、、加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．企業對康乃馨的種子進行分級，將發芽率不低于的種子定為“級”，發芽率低于但不低于的種子定為“級”，發芽率低于的種子定為“級”．

（Ⅰ）現從這些康乃馨種子中隨機抽取一種，估計該種子不是“級”種子的概率；

（Ⅱ）該花卉企業銷售花種，且每份“級”、“級”、“級”康乃馨種子的售價分別為元、元、元．某人在市場上隨機購買了該企業銷售的康乃馨種子兩份，共花費元，以頻率為概率，求的分布列和數學期望；

（Ⅲ）企業改進了花卉培育技術，使得每種康乃馨種子的發芽率提高到原來的倍，那么對于這些康乃馨的種子，與舊的發芽率數據的方差相比，技術改進后發芽率數據的方差是否發生變化？若發生變化，是變大了還是變小了？（結論不需要證明）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列詳見解析，數學期望為；（Ⅲ）方差變大了．

【解析】

（Ⅰ）利用頻率分布直方圖中矩形面積之和為，求出的值，再結合頻率分布直方圖以及對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（Ⅱ）由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，由此可列出隨機變量的分布列，進而可求得隨機變量的數學期望；

（Ⅲ）根據離散型隨機變量方差的性質可得出結論.

（Ⅰ）設事件為：“從這些康乃馨種子中隨機抽取一種，且該種子不是“級”種子”，

由圖表，得，解得，

由圖表，知“級”種子的頻率為，

故可估計從這些康乃馨種子中隨機抽取一種，該種子是“級”的概率為．

因為事件與事件“從這些康乃馨種子中隨機抽取一種，且該種子是“級”種子”為對立事件，

所以事件的概率；

（Ⅱ）由題意，任取一顆種子，恰好是“級”康乃馨的概率為，

恰好是“級”康乃馨的概率為，

恰好是“級”的概率為．

隨機變量的可能取值有、、、、，

且，，

，，

.

所以的分布列為：

故的數學期望．

（Ⅲ）與舊的發芽率數據的方差相比，技術改進后發芽率數據的方差變大了．