Question

【題目】已知，，.

（1）若，求的值；

（2）當，，且有最小值時，求的值；

（3）當，時，有恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由，結合對數運算律，可求出實數的值；

（2）將代入函數的解析式，得出，利用雙勾函數的單調性得出內層函數在區間上單調遞增，然后分和兩種情況討論，利用外層函數的單調性得出函數的最小值為，即可求出實數的值；

（3）當時，由，可得出，利用參變量分離法得出，求出函數在區間上的最大值，即可得出實數的取值范圍.

（1），即，即；

（2），

，

內層函數在區間上單調遞增.

當時，外層函數為增函數，則函數在也單調遞增，

，解得；

當時，外層函數為減函數，則函數在單調遞減，

，解得（舍去）.

綜上所述，；

（3），即，，

，，，，，

，依題意有，

而函數，

因為，，，所以.

因此，實數的取值范圍是.