Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），現(xiàn)以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）在曲線上是否存在一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最��？若存在，求出距離的最小值及點(diǎn)的直角坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）， .

【解析】試題分析：（1）把曲線的參數(shù)方程分類參數(shù)，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去參數(shù)得到其普通方程，根據(jù)把直線的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，由點(diǎn)到直線的距離公式得到距離關(guān)于參數(shù)的的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)得到最小值和相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：（1）由題意知曲線的參數(shù)方程可化簡(jiǎn)為，

．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

由直線的極坐標(biāo)方程可得直角坐標(biāo)方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則可設(shè)，

設(shè)其到直線的距離為，則．．．．．．．．．．．．．．7分

化簡(jiǎn)得，當(dāng)，即時(shí)， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為……………………10分