Question

已知橢圓C₁：的離心率為e，且b，e，為等比數列，曲線y=8-x²恰好過橢圓的焦點．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設雙曲線C₂：的頂點和焦點分別是橢圓C₁的焦點和頂點，設O為坐標原點，點A，B分別是C₁和C₂上的點，問是否存在A，B滿足．請說明理由．若存在，請求出直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定c的值，再利用b，e，為等比數列，結合a²=b²+c²，求出幾何量，即可得到橢圓C₁的方程；
（2）假設存在A，B滿足，則O，A，B三點共線且A，B不在y軸上，設出直線方程與橢圓、雙曲線聯立，利用共線得到k的方程，即可得到結論．
解答：解：（1）由y=8-x²=0可得x=
∴橢圓的焦點坐標為（，0），即c=
∵b，e，為等比數列，
∴
∵a²=b²+c²
∴
∴橢圓C₁的方程為；
（2）假設存在A，B滿足，則O，A，B三點共線且A，B不在y軸上，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx
由（1）知，C₂的方程為
直線與橢圓方程聯立，可得（1+3k²）x²=12，即=
直線方程與雙曲線方程聯立，可得（1-2k²）x²=8，即
∵，∴
∴
∴
∴
∴存在A，B滿足，此時直線AB的方程為．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓、雙曲線的位置關系，屬于中檔題．