已知函數
．
(1)若曲線
在x=l和x=3處的切線互相平行，求a的值及函數
的單調區間；
(2)設
，若對任意
，均存在
，使得
，求實數a的取值范圍．
（1）單調遞增區間為
，
，單調遞減區間為
. （2）
.
解析試題分析：（1）首先依題意求得
，確定函數的解析式，
進一步求導數：
，求駐點，分區間討論導數值的正負，確定得到單調區間.
（2）將問題加以轉化：若要命題成立，只須當
時，
.
由
可知， 當
時
,
所以只須
.
問題進一步轉化成確定
的最大值，注意到
，
分
時，
時，
時，
時，分別討論.
試題解析：（1）
，
由
得， 3分
所以
：單調遞增區間為，，
單調遞減區間為. 6分
（2）若要命題成立，只須當時，.
由可知， 當時,
所以只須. 8分
對來說，，
①當時，
當時，顯然，滿足題意，
當時，令
，
，所以
遞減，所以
，滿足題意，
所以滿足題意； 10分
②當時，在上單調遞增，
所以
得
， 12分
綜上所述，. 13分
考點：導數的幾何意義，應用導數研究函數的單調性、最值.
同步奧數系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
（1）求
的最小值；
（2）設
，
．
（ⅰ）證明：當
時，
的圖象與
的圖象有唯一的公共點；
（ⅱ）若當
時，的圖象恒在的圖象的上方，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
甲、乙兩地相距1000
，貨車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過80
，已知貨車每小時的運輸成本（單位：元）由可變成本和固定成本組成，可變成本是速度平方的
倍，固定成本為a元．
（1）將全程運輸成本y（元）表示為速度v（）的函數，并指出這個函數的定義域；
（2）為了使全程運輸成本最小，貨車應以多大的速度行駛？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
在
上是增函數，
上是減函數．
（1）求函數
的解析式；
（2）若
時，
恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）是否存在實數b，使得方程
在區間
上恰有兩個相異實數根，若存在，求出b的范圍，若不存在說明理由．
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，
.
的極值點；
，記
上的最小值為
，求
的最小值.
在
及
時取得極值．
，都有
成立，求c的取值范圍．
的函數
時，求函數
的極值；
沒有零點，求實數
取值范圍.
．
的單調性；
在(1，+
)恒成立，求實數a的取值范圍．
。
的零點個數；
軸交于
兩點，
中點為
，設函數
, 求證：
。