Question

【題目】如圖，過(guò)橢圓： 的左右焦點(diǎn)分別作直線(xiàn)， 交橢圓于與，且.

（1）求證：當(dāng)直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率都存在時(shí)， 為定值；

（2）求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）.

【解析】試題分析: (1)設(shè) ,分別將坐標(biāo)代入橢圓中,得出兩等式,相減得出 ,寫(xiě)出的表達(dá)式,化簡(jiǎn)得出結(jié)果; (2)設(shè)直線(xiàn) 的方程,聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓方程,求出 ,算出的表達(dá)式,而 ,代入,用基本不等式求出最大值,再得出四邊形面積的最大值.

試題解析: （1）設(shè), ,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，有，因?yàn)?/span>, 都在橢圓上，所以， ，二式相減得， ，所以為定值.

（2）當(dāng)的傾斜角為時(shí)， 與重合，舍去.

當(dāng)的傾斜角不為0時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性得四邊形為平行四邊形， ，設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入，得.顯然， ， .

所以

設(shè)，所以， .所以.

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以.

所以平行四邊形面積的最大值為.

點(diǎn)睛: 本題主要考查直線(xiàn)與橢圓相交時(shí)的有關(guān)知識(shí),考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.解題技巧: 在(1)中,采用設(shè)而不求;在(2)中, 設(shè)直線(xiàn) 的方程比 好,因?yàn)槁?lián)立直線(xiàn)與橢圓方程計(jì)算量減少,還有,由韋達(dá)定理可求出.在求三角形面積最大值時(shí),將 看成一個(gè)整體,利用基本不等式求出最大值.