Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC,點D是AB的中點．

(1)求證：BC₁∥平面CA₁D；
(2)求證：平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B；
(3)若底面ABC為邊長為2的正三角形，BB₁= ，求三棱錐B₁-A₁DC的體積．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

解析試題分析：（1）由直線和平面平行的判定定理知，要證明面，只需在面內找一條直線平行于即可，連接交于點，連接，由三角形中位線定理，得，進而證明面；（2）由面面垂直的判定定理，只需在一個平面內找另一個平面的一條垂線即可，由已知得
面，故平面平面；（3）求四面體體積，關鍵在于利用等體積轉化法，選擇合適的底面便于求高，∵，依題意，高為，再求底面的面積，進而求三棱錐的體積.
試題解析：（1）連接交于點，連接，因為四邊形是矩形，則為的中點，又是的中點，，又面，面，面．
（2），是的中點，，又面， 面，，
，面，面， 平面平面.
（3）解： ,則（2）知CD⊥面ABB₁B， 所以高就是CD= ，BD=1，BB₁=，所以A₁D=B₁D=A₁B₁=2,  , ．
考點：1、直線和平面平行的判定定理；2、面面垂直的判定定理；3、三棱錐的體積.