Question

【題目】將邊長分別為、、、…、、、…的正方形疊放在一起，形成如圖所示的圖形，由小到大，依次記各陰影部分所在的圖形為第個、第個、……、第個陰影部分圖形.設前個陰影部分圖形的面積的平均值為.記數列滿足，

（1）求的表達式；

（2）寫出，的值，并求數列的通項公式；

（3）定義，記，且恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）， ，；（3）.

【解析】

（1）根據題意，分別求出每一個陰影部分圖形的面積，即可得到前個陰影部分圖形的面積的平均值；（2）依據遞推式，結合分類討論思想，即可求出數列的通項公式；（3）先求出的表達式，再依題意得到，分類討論不等式恒成立的條件，取其交集，即得所求范圍。

（1）由題意有，第一個陰影部分圖形面積是：；第二個陰影部分圖形面積是： ；第三個陰影部分圖形面積是：；所以第個陰影部分圖形面積是：；故；

（2）由（1）知，，，所以，

，

當時，

當時，

，

綜上，數列的通項公式為，。

（3）由（2）知，，，由題意可得，恒成立，

①當時，，即，所以，

②當時，，即，

所以，

③當時，，即，

所以，

綜上，。