Question

【題目】選修4—4：坐標系與參數方程

在直角坐標系xOy中，設傾斜角為α的直線l：（t為參數）與曲線C：（θ為參數）相交于不同的兩點A，B．

（Ⅰ）若α＝，求線段AB中點M的坐標；

（Ⅱ）若｜PA｜·｜PB｜＝｜OP｜，其中P（2，），求直線l的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）將曲線的參數方程化為普通方程，當時，設點對應參數為．直線方程為代入曲線的普通方程，得，由韋達定理和中點坐標公式求得，代入直線的參數方程可得點的坐標；（2）把直線的參數方程代入橢圓的普通方程可得關于參數的一元二次方程，由已知條件和韋達定理可得，求得的值即得斜率.

試題解析：設直線上的點，對應參數分別為，．將曲線的參數方程化為普通方程．

（1）當時，設點對應參數為．直線方程為（為參數）．

代入曲線的普通方程，得，則，

所以，點的坐標為．

（2）將代入，得，

因為，，所以．

得．由于，故．

所以直線的斜率為．