Question

已知數列{a_n}與{b_n}有如下關系：a₁=2，a_n+1=

1

2

（an+

1

an

），b_n=

an+1

an-1

．
（1）求數列{b_n}的通項公式．
（2）設S_n是數列{a_n}的前n項和，當n≥2時，求證：S_n＜n+

4

3

．

Answer 1

分析：（1）根據b_n=

an+1

an-1

，a_n+1=

1

2

（a_n+

1

an

），可得b_n+1=

an+1+1

an+1-1

=(

an+1

an-1

)2=

b

2 n

＞0，迭代可得數列{b_n}的通項公式；
（2）利用當n≥2時，an+1-1=

an-1

32n-1+1

≤

1

10

(an-1)，可得a3-1≤

1

10

(a2-1)，a4-1≤

1

10

(a3-1)，…，an-1≤

1

10

(an-1-1)，以上式子累和得Sn-a1-a2-(n-2)≤

1

10

[Sn-1-a1-(n-2)]，進而利用放縮法可證S_n＜n+

4

3

．

解答：（1）解：∵b_n=

an+1

an-1

．
∴b₁=

a1+1

a1-1

=3，
∵a_n+1=

1

2

（a_n+

1

an

），
∴b_n+1=

an+1+1

an+1-1

=(

an+1

an-1

)2=

b

2 n

＞0
∴bn=

b

2 n-1

=…=32n-1
（2）證明：當n≥2時，an+1-1=

an-1

32n-1+1

≤

1

10

(an-1)
（當且僅當n=2時取等號）且a2=

1

2

(a1+

1

a1

)=

5

4

故a3-1≤

1

10

(a2-1)，a4-1≤

1

10

(a3-1)，…，an-1≤

1

10

(an-1-1)
以上式子累和得Sn-a1-a2-(n-2)≤

1

10

[Sn-1-a1-(n-2)]
∴10[S_n-a₁-a₂-（n-2）]≤S_n-1-a₁-（n-2）
∴9Sn≤

25

2

+9n-

32n-1+1

32n-1-1

∴Sn≤

25

18

+n-

32n-1+1

9(32n-1-1)

＜

25

18

+n-

1

9

=

23

18

+n＜

24

18

+n
∴S_n＜n+

4

3

．得證

點評：本題以數列遞推式為載體，考查數列的通項公式，考查不等式的證明，考查放縮法的運用，有難度．