Question

已知數列{a_n}與{b_n}滿足：bnan+an+1+bn+1an+2=0，bn=

3+(-1)n

2

，n∈N^*，且a₁=2，a₂=4．
（Ⅰ）求a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ）設c_n=a_2n-1+a_2n+1，n∈N^*，證明：{c_n}是等比數列；
（Ⅲ）設S_k=a₂+a₄+…+a_2k，k∈N^*，證明：

4n

k=1

Sk

ak

＜

7

6

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求a₃，a₄，a₅的值；通過賦值方法，利用已知條件化簡求解即可．
（Ⅱ）化簡出a_2n-1+a_2n+1，a_2n+1+a_2n+3的關系，即：c_n+1與c_n的關系，從而證明{c_n}是等比數列；就是利用（Ⅰ）的bn=

1，n為奇數 2，n為偶數

，用2n-1，2n，2n+1，替換bnan+an+1+bn+1an+2=0，bn=

3+(-1)n

2

中的n，化簡出只含“a_n”的關系式，就是a_2n-1+a_2n+2a_2n+1=0，①2a_2n+a_2n+1+a_2n+2=0，②a_2n+1+a_2n+2+2a_2n+3=0，③然后推出a_2n+1+a_2n+3=-（a_2n-1+a_2n+1），得到c_n+1=-c_n（n∈N^*），從而證明{c_n}是等比數列；
（Ⅲ）先研究通項公式a_2k，推出S_k的表達式，然后計算

Sk

ak

，結合證明的表達式，利用表達式的特征，通過裂項法以及放縮法證明即可；就是：根據a_2k-1+a_2k+1=（-1）^k，對任意k∈N^*且k≥2，列出n個表達式，利用累加法求出a_2k=（-1）^k+1（k+3）．化簡
S_2k=（a₂+a₄）+（a₆+a₈）+…+（a_4k-2+a_4k）=-k，k∈N^*，

4n

k=1

Sk

ak

=

n

m=1

(

S4m-3

a4m-3

+

S4m-2

a4m-2

+

S4m-1

a4m-1

+

S4m

a4m

)，通過裂項法以及放縮法證明：

4n

k=1

Sk

ak

＜

7

6

(n∈N*)．

解答：20、滿分14分．
（I）解：由bn=

3+(-1)n

2

，n∈N*，
可得bn=

1，n為奇數 2，n為偶數

又b_na_n+a_n+1+b_n+1a_n+2=0，

當n=1時，a1+a2+2a3=0，由a1=2，a2=4，可得a3=-3； 當n=2時，2a2+a3+a4=0，可得a4=-5； 當n=3時，a3+a4+2a5=0，可得a5=4．

（II）證明：對任意n∈N^*，a_2n-1+a_2n+2a_2n+1=0，①2a_2n+a_2n+1+a_2n+2=0，②a_2n+1+a_2n+2+2a_2n+3=0，③
②-③，得a_2n=a_2n+3．④
將④代入①，可得a_2n+1+a_2n+3=-（a_2n-1+a_2n+1）
即c_n+1=-c_n（n∈N^*）
又c₁=a₁+a₃=-1，故c_n≠0，
因此

cn+1

cn

=-1，所以{cn}是等比數列．
（III）證明：由（II）可得a_2k-1+a_2k+1=（-1）^k，
于是，對任意k∈N^*且k≥2，有

a1+a3=-1， -(a3+a5)=-1， a5+a7=-1， ? (-1)k(a2k-3+a2k-1)=-1.

將以上各式相加，得a₁+（-1）^ka_2k-1=-（k-1），
即a_2k-1=（-1）^k+1（k+1），
此式當k=1時也成立．由④式得a_2k=（-1）^k+1（k+3）．
從而S_2k=（a₂+a₄）+（a₆+a₈）+…+（a_4k-2+a_4k）=-k，S_2k-1=S_2k-a_4k=k+3．
所以，對任意n∈N^*，n≥2，

4n

k=1

Sk

ak

=

n

m=1

(

S4m-3

a4m-3

+

S4m-2

a4m-2

+

S4m-1

a4m-1

+

S4m

a4m

)=

n

m=1

(

2m+2

2m

-

2m-1

2m+2

-

2m+3

2m+1

+

2m

2m+3

)=

n

m=1

(

2

2m(2m+1)

+

3

(2m+2)(2m+2)

)=

2

2×3

+

n

m=2

5

2m(2m+1)

+

3

(2n+2)(2n+3)

＜

1

3

+

n

m=2

5

(2m-1)(2m+1)

+

3

(2n+2)(2n+3)

=

1

3

+

5

2

•[(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]+

3

(2n+2)(2n+3)

= 1 3 + 5 6 - 5 2 • 1 2n+1 + 3 (2n+2)(2n+3) ＜ 7 6 .

對于n=1，不等式顯然成立．

點評：本小題主要考查等比數列的定義、數列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法．賦值法是求數列前幾項的常用方法，注意n=1的驗證，裂項法和放縮法的應用．