Question

（本題滿分15分）已知等差數列中，，公差；數列中，為其前n項和，滿足：

（Ⅰ）記，求數列的前項和；

（Ⅱ）求證：數列是等比數列；

（Ⅲ）設數列滿足，為數列的前項積，若數列滿足，且，求數列的最大值.

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）由，得，所以當時，=，又當

，符合上式，所以，故數列是等比數列.

（Ⅲ）的最大值為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先由數列的通項公式，可得數列的通項公式，然后運用裂項相消法即可求得其

前項和；（Ⅱ）由已知及公式可得，當時，的通項公式；然

后驗證當時，是否滿足上述通項公式，進而求出的通項公式即可證明結論成立；

（Ⅲ）根據作差法判斷數列的單調性，進而判斷數列的最大值即可.

試題解析：（Ⅰ）因為，

所以，

所以

=.

（Ⅱ）由，得，

所以當時，=，

又當，符合上式，所以，

故數列是等比數列.

（Ⅲ）因為，所以，

當時，=，

又符合上式，所以，

因為，所以當時，單調遞減，

當時，單調遞增，但當時，每一項均小于0，

所以的最大值為.

考點：等差數列；等比數列；數列的前項和；數列的單調性.