Question

．本小題滿分15分）
如圖，已知橢圓E：，焦點為、，雙曲線G：的頂點是該橢圓的焦點，設是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線、與橢圓的交點分別為A、B和C、D，已知三角形的周長等于，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為.

（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設直線、的斜率分別為和，探求
和的關系；
（3）是否存在常數，使得恒成立？
若存在，試求出的值；若不存在， 請說明理由．

Answer 1

（1）由題意知，橢圓中 
所以橢圓的標準方程為              …………2分
又頂點與焦點重合，所以；   
所以該雙曲線的標準方程為。   …………4分 
（2）設點            
在雙曲線上，所以          所以  …………8分
（3）設直線AB：    
由方程組得    ………10分
設
所以        
由弦長公式   
同理       ………12分
由代入得        ………13分
    
所以存在使得成立。   ………15分

略