Question

圓C1：x2+y2+4ax+4a2-4=0和圓C2：x2+y2-2by+b2-1=0相內切，若a，b∈R，且ab≠0，則

1

a2

+

1

b2

的最小值為

9

．

Answer 1

分析：由題意，圓C₁與圓C₂的圓心距等于它們半徑差的絕對值，求出兩圓的圓心C₁、C₂的坐標和它們的半徑，利用兩點間的距離公式化簡等式|C₁C₂|=1，得4a²+b²=1．再利用基本不等式加以計算，可得當a²=

1

6

、b²=

1

3

時，

1

a2

+

1

b2

的最小值等于9．

解答：解：圓C1：x2+y2+4ax+4a2-4=0的圓心為C₁（-2a，0），半徑r₁=2．
圓C2：x2+y2-2by+b2-1=0的圓心為C₂（0，b），半徑r₂=2．
∵圓C₁與圓C₂相內切，
∴|C₁C₂|=|r₂-r₁|=1，即

(-2a-0)2+(0-b)2

=1，化簡得4a²+b²=1．
因此，

1

a2

+

1

b2

=（4a²+b²）（

1

a2

+

1

b2

）=5+（

b2

a2

+

4a2

b2

），
∵

b2

a2

+

4a2

b2

≥2

b2 a2 • 4a2 b2

=4，∴

1

a2

+

1

b2

≥5+4=9，
可得：當且僅當

b2

a2

=

4a2

b2

時，即a²=

1

6

且b²=

1

3

時，

1

a2

+

1

b2

的最小值等于9
故答案為：9

點評：本題給出含有參數a、b的兩圓相內切，求

1

a2

+

1

b2

的最小值．著重考查了圓的標準方程、圓與圓的位置關系和用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．