Question

如圖所示，某市政府決定在以政府大樓O為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內(nèi)建造一個(gè)圖書館．為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環(huán)境協(xié)調(diào)，設(shè)計(jì)要求該圖書館底面矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都要在邊界上，圖書館的正面要朝市政府大樓．設(shè)扇形的半徑OM=R，∠MOP=45°，OB與OM之間的夾角為θ．
（I）將圖書館底面矩形ABCD的面積S表示成θ的函數(shù)．
（II）若R=45m，求當(dāng)θ為何值時(shí)，矩形ABCD的面積S有最大值？其最大值是多少？（精確到0.01m²）

Answer 1

分析：（Ⅰ）要建立矩形面積模型，則只須表示出AB，BC即可，易知點(diǎn)M為

PQ

的中點(diǎn)，則有OM⊥AD．設(shè)OM于BC的交點(diǎn)為F，則BC=2Rsinθ，.AB=OF-

1

2

AD=Rcosθ-Rsinθ．再用面積公式求解．
（Ⅱ）由（I）由θ∈(0，

π

4

)，確定2θ+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)．再利用正弦函數(shù)最值求解．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知，點(diǎn)M為

PQ

的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥AD．
設(shè)OM于BC的交點(diǎn)為F，則BC=2Rsinθ，OF=Rcosθ.AB=OF-

1

2

AD=Rcosθ-Rsinθ．
所以S=AB•BC=2Rsinθ（Rcosθ-Rsinθ）=R²（2sinθcosθ-2sin²θ）
=R²（sin2θ-1+cos2θ）=

2

R2sin(2θ+

π

4

)-R2，θ∈(0，

π

4

)．
（Ⅱ）因?yàn)?span id="o2qu0ue" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">θ∈(0，

π

4

)，則2θ+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)．
所以當(dāng)2θ+

π

4

=

π

2

，即θ=

π

8

時(shí)，S有最大值．
Smax=(

2

-1)R2=(

2

-1)×452=0.414×2025=838.35．
故當(dāng)θ=

π

8

時(shí)，矩形ABCD的面積S有最大值838.35m²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查應(yīng)用題建模和解模問(wèn)題，關(guān)鍵是明確關(guān)鍵詞，關(guān)鍵句，建立模型的同時(shí)，也要明確條件．