Question

如圖所示，某市政府決定在以政府大樓O為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內建造一個圖書館．為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環境協調，設計要求該圖書館底面矩形的四個頂點都要在邊界上，圖書館的正面要朝市政府大樓．設扇形的半徑OM=R，∠MOP=45°，當點B位于何處時，圖書館的占地面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析：設OB與OM之間的夾角為θ，利用S=AB•BC，求出面積，利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數，即可求得結論．

解答：解：設OB與OM之間的夾角為θ，由題意可知，點M為PQ弧的中點，所以OM⊥AD．
設OM于BC的交點為F，則BC=2Rsinθ，OF=Rcosθ．…..（4分）
∴AB=OF-

1

2

AD=Rcosθ-Rsinθ    …..（6分）
所以S=AB•BC=2Rsinθ（Rcosθ-Rsinθ ）=R²（2sinθcosθ-2sin²θ）=

2

R²sin（2θ+

π

4

）-R²，θ∈(0，

π

4

)，
∵θ∈(0，

π

4

)，∴2θ+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)                            …..（11分）
所以當2θ+

π

4

=

π

2

，即θ=

π

8

 時，S有最大值．
即Smax=(

2

-1)R2．…..（14分）
答：當∠BOP=

3π

8

時，圖書館的占地面積最大，最大值為(

2

-1)R2．…..（15分）

點評：本題考查函數模型的構建，考查三角函數的化簡，考查學生的計算能力，屬于中檔題．