Question

【題目】已知，函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）若有最小值，求的取值范圍，并求出的最小值；

（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的取值范圍是，此時(shí)的最小值為.

（2）.

【解析】

（1）導(dǎo)函數(shù)為,對(duì)a分類(lèi)討論，明確函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值；（2）設(shè).由恒成立，即恒成立，研究函數(shù)單調(diào)性，求其最小值即可.

（1），其導(dǎo)函數(shù)為

①當(dāng)時(shí)，對(duì)有，在上是函數(shù)，沒(méi)有最小值；

②當(dāng)時(shí)，由得.當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上是增函數(shù).所以的最小值為，所以的取值范圍是，此時(shí)的最小值為.

（2）設(shè).

由恒成立，即恒成立

①當(dāng)，則當(dāng)時(shí)，，而，不可能有恒成立；

②當(dāng)，，設(shè)，則

在上增函數(shù)

又，所以在上，，是減函數(shù)，在區(qū)間上，，是增函數(shù)，最小值為.

所以恒成立

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.