Question

【題目】對于兩條平行直線、(在下方)和圖象有如下操作:將圖象在直線下方的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，得到圖象；將圖象在直線上方的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，得到圖象:再將圖在直線下方的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，得到圖象；再將圖象在直線上方的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，得到圖象；以此類推…；直到圖象上所有點均在、之間(含、上)操作停止，此時稱圖象為圖象關(guān)于直線、的“衍生圖形”，線段關(guān)于直線、的“衍生圖形”為折線段.

(1)直線型

平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線，直線

①令圖象為的函數(shù)圖象，則圖象的解析式為

②令圖像為的函數(shù)圖象，請你畫出和的圖象

③若函數(shù)的圖象與圖象有且僅有一個交點，且交點在軸的左側(cè)，那么的取值范圍是_______.

④請你觀察圖象并描述其單調(diào)性，直接寫出結(jié)果_______.

⑤請你觀察圖象并判斷其奇偶性，直接寫出結(jié)果_______.

⑥圖象所對應(yīng)函數(shù)的零點為_______.

⑦任取圖象中橫坐標(biāo)的點，那么在這個變化范圍中所能取到的最高點的坐標(biāo)為（_______，_______），最低點坐標(biāo)為（_______，_______）.

⑧若直線與圖象有2個不同的交點，則的取值范圍是_______.

⑨根據(jù)函數(shù)圖象，請你寫出圖象的解析式_______.

(2)曲線型

若圖象為函數(shù)的圖象，

平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線，直線，

則我們可以很容易得到所對應(yīng)的解析式為.

①請畫出的圖象，記所對應(yīng)的函數(shù)解析式為.

②函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_______，單調(diào)減區(qū)間為_______.

③當(dāng)時候，函數(shù)的最大值為_______，最小值為_______.

④若方程有四個不同的實數(shù)根，則的取值范圍為_______.

(3)封閉圖形型

平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)直線,直線

設(shè)圖象為四邊形,其頂點坐標(biāo)分別為,,,,四邊形關(guān)于直線、的“衍生圖形”為.

①的周長為_______.

②若直線平分的周長,則_______.

③將沿右上方方向平移個單位,則平移過程中所掃過的面積為_______.

Answer 1

【答案】（1）①；②函數(shù)圖像見解析；③；④的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，；⑤偶函數(shù)；

⑥；⑦，；⑧

⑨

（2）①詳圖見解析；②增區(qū)間和，減區(qū)間和

③最大值為12，最小值為0；④

（3）①；②；③

【解析】

通過對“衍生圖形”概念的理解，需要先定位兩條平行直線、，隨著平行直線的變化，“衍生圖形”最終也會發(fā)生相應(yīng)的變化。

解題過程中抓住兩個核心：只要是第奇數(shù)次翻折，那么圖像就要把位于下面的沿著向上翻折；只要是第偶數(shù)次翻折，圖像就把位于上面的向下翻折，解題過程只要依據(jù)翻折的基本原理，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)，逐步求解即可

首先對于（1）直線型

兩平行直線為直線，直線

對①，當(dāng)發(fā)生第一次翻折，的圖像相當(dāng)于把軸下方圖像沿著軸向上翻折，此時應(yīng)滿足

對②，圖像如圖所示

對③，，圖像恒過，又因與圖像有且僅有一個交點，且交點在軸的左側(cè)，如圖所示

若只有一個交點，應(yīng)滿足

對④，根據(jù)圖像，的單調(diào)遞增區(qū)間為，

的單調(diào)遞減區(qū)間為，

對⑤，圖像關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù)

對⑥，圖像對應(yīng)的零點為：

對⑦，圖像在上的最高點的坐標(biāo)為，最低點的坐標(biāo)為

對⑧，若直線與圖象有2個不同的交點，由圖像可知

則

對⑨，觀察圖像特點為偶函數(shù)，當(dāng)，，當(dāng)和時，，則

對于（2）曲線型

，所對應(yīng)的解析式為

對①，圖像如圖所示

對②，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為和

對③，當(dāng)時候，函數(shù)的最大值為，最小值為

對④，④若方程有四個不同的實數(shù)根，即等價于與圖像有四個交點

如圖所示：

要使兩函數(shù)圖像有四個交點，應(yīng)滿足，解得

（3）封閉型曲線，根據(jù)題意先畫出四邊形的“衍生圖形”，

對①，的周長為

對②，

要使被直線平分周長，則假設(shè)直線與交點為，與直線交點為，則應(yīng)滿足

直線方程為：，直線方程為：

聯(lián)立直線得，

聯(lián)立直線得，

由得，解得

對③，如圖所示

平移之后掃過的面積應(yīng)為