Question

已知下列兩個命題：p：?x∈R⁺，不等式x≥a

x

-1恒成立；q：y=loga(x2-ax+1)（a＞0，a≠1）有最小值；若兩個命題中有且只有一個是真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：分別求出命題p，q成立的等價條件，利用兩個命題中有且只有一個是真命題，確定實數a的取值范圍．

解答：解：若?x∈R⁺，不等式x≥a

x

-1恒成立，
則a≤

x+1

x

=

x

+

1

x

，
∵

x

+

1

x

≥2，
∴a≤2，即p：a≤2．
∵x²-ax+1有最小值，
∴要使y=loga(x2-ax+1)（a＞0，a≠1）有最小值，
則a＞1，即q：a＞1．
若兩個命題中有且只有一個是真命題，
則p真q假，或p假q真，
∴若p真q假，則

a≤2 a≤1

，解得a≤1．
∵a＞0，a≠1，∴0＜a＜1．
若p假q真，則

a＞2 a＞1

，解得a＞2．
綜上：0＜a＜1或a＞2．

點評：本題主要考查復合命題與簡單命題之間的關系，先求出命題p，q成立的等價條件是解決本題的關鍵．