Question

已知下列兩個命題：
p：?x∈R⁺，不等式x≥a

x

-1恒成立；q：y=log_a（x²-ax+1）（a＞0，a≠1）有最小值．若兩個命題中有且只有一個是真命題，則實數a的取值范圍是

a=2或a≤1

．

Answer 1

分析：根據函數恒成立的等價條件及基本不等式，我們可以求出P為真命題時，實數a的取值范圍；根據復合函數單調性及指數函數單調性，對數函數的最值，我們可以求出Q為真命題時，實數a的取值范圍；根據兩個命題中有且只有一個是真命題，我們分P真Q假和P假Q真，兩種情況討論，即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：p：?x∈R⁺，不等式x≥a

x

-1恒成立；
即a≤

x+1

x

=

x

+

1

x

恒成立；
由于

x

+

1

x

的最小值為2，
故P為真命題時，a≤2
q：y=log_a（x²-ax+1）（a＞0，a≠1）有最小值．
表示以a為底的對數函數為增函數，且x²-ax+1＞0恒成立
即

a＞1 a2-4＜0

，解得1＜a＜2
故Q為真命題時，1＜a＜2
∵兩個命題中有且只有一個是真命題，
當P真Q假時，a=2或a≤1
當P假Q真時，這樣的a值不存在
故實數a的取值范圍是a=2或a≤1
故答案為：a=2或a≤1

點評：本題考查的知識點是復合命題的真假，全稱命題，二次函數的性質，對數函數的值域與最值，函數恒成立問題，基本不等式在求最值時的應用，其中分別求出命題P和命題Q為真命題時，實數a的取值范圍，是解答本題的關鍵．